上算法和数据结构课的时候，老师们都会和你说，程序 = 算法 + 数据结构。如果对应到组成原理或者说硬件层面，算法就是我们前面讲的各种计算机指令，数据结构就对应我们接下来要讲的二进制数据。
众所周知，现代计算机都是用0和1组成的二进制，来表示所有的信息。前面几讲的程序指令用到的机器码，也是使用二进制表示的；我们存储在内存里面的字符串、整数、浮点数也都是用二进制表示的。万事万物在计算机里都是0和1，所以呢，搞清楚各种数据在二进制层面是怎么表示的，是我们必备的一课。
大部分教科书都会详细地从整数的二进制表示讲起，相信你在各种地方都能看到对应的材料，所以我就不再啰啰嗦嗦地讲这个了，只会快速地浏览一遍整数的二进制表示。
然后呢，我们重点来看一看，大家在实际应用中最常遇到的问题，也就是文本字符串是怎么表示成二进制的，特别是我们会遇到的乱码究竟是怎么回事儿。我们平时在开发的时候，所说的Unicode和UTF-8之间有什么关系。理解了这些，相信以后遇到任何乱码问题，你都能手到擒来了。
理解二进制的“逢二进一”
二进制和我们平时用的十进制，其实并没有什么本质区别，只是平时我们是“逢十进一”，这里变成了“逢二进一”而已。每一位，相比于十进制下的0～9这十个数字，我们只能用0和1这两个数字。
任何一个十进制的整数，都能通过二进制表示出来。把一个二进制数，对应到十进制，非常简单，就是把从右到左的第N位，乘上一个2的N次方，然后加起来，就变成了一个十进制数。当然，既然二进制是一个面向程序员的“语言”，这个从右到左的位置，自然是从0开始的。
比如0011这个二进制数，对应的十进制表示，就是$0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$
$=3$，代表十进制的3。
对应地，如果我们想要把一个十进制的数，转化成二进制，使用短除法就可以了。也就是，把十进制数除以2的余数，作为最右边的一位。然后用商继续除以2，把对应的余数紧靠着刚才余数的右侧，这样递归迭代，直到商为0就可以了。
比如，我们想把13这个十进制数，用短除法转化成二进制，需要经历以下几个步骤：
因此，对应的二进制数，就是1101。
刚才我们举的例子都是正数，对于负数来说，情况也是一样的吗？我们可以把一个数最左侧的一位，当成是对应的正负号，比如0为正数，1为负数，这样来进行标记。
这样，一个4位的二进制数， 0011就表示为+3。而1011最左侧的第一位是1，所以它就表示-3。这个其实就是整数的原码表示法。原码表示法有一个很直观的缺点就是，0可以用两个不同的编码来表示，1000代表0， 0000也代表0。习惯万事一一对应的程序员看到这种情况，必然会被“逼死”。
于是，我们就有了另一种表示方法。我们仍然通过最左侧第一位的0和1，来判断这个数的正负。但是，我们不再把这一位当成单独的符号位，在剩下几位计算出的十进制前加上正负号，而是在计算整个二进制值的时候，在左侧最高位前面加个负号。
比如，一个4位的二进制补码数值1011，转换成十进制，就是$-1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$
$=-5$。如果最高位是1，这个数必然是负数；最高位是0，必然是正数。并且，只有0000表示0，1000在这样的情况下表示-8。一个4位的二进制数，可以表示从-8到7这16个整数，不会白白浪费一位。
当然更重要的一点是，用补码来表示负数，使得我们的整数相加变得很容易，不需要做任何特殊处理，只是把它当成普通的二进制相加，就能得到正确的结果。
我们简单一点，拿一个4位的整数来算一下，比如 -5 + 1 = -4，-5 + 6 = 1。我们各自把它们转换成二进制来看一看。如果它们和无符号的二进制整数的加法用的是同样的计算方式，这也就意味着它们是同样的电路。
字符串的表示，从编码到数字
不仅数值可以用二进制表示，字符乃至更多的信息都能用二进制表示。最典型的例子就是字符串（Character String）。最早计算机只需要使用英文字符，加上数字和一些特殊符号，然后用8位的二进制，就能表示我们日常需要的所有字符了，这个就是我们常常说的ASCII码（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码）。
ASCII码就好比一个字典，用8位二进制中的128个不同的数，映射到128个不同的字符里。比如，小写字母a在ASCII里面，就是第97个，也就是二进制的0110 0001，对应的十六进制表示就是 61。而大写字母 A，就是第65个，也就是二进制的0100 0001，对应的十六进制表示就是41。
在ASCII码里面，数字9不再像整数表示法里一样，用0000 1001来表示，而是用0011 1001 来表示。字符串15也不是用0000 1111 这8位来表示，而是变成两个字符1和5连续放在一起，也就是 0011 0001 和 0011 0101，需要用两个8位来表示。
我们可以看到，最大的32位整数，就是2147483647。如果用整数表示法，只需要32位就能表示了。但是如果用字符串来表示，一共有10个字符，每个字符用8位的话，需要整整80位。比起整数表示法，要多占很多空间。
这也是为什么，很多时候我们在存储数据的时候，要采用二进制序列化这样的方式，而不是简单地把数据通过CSV或者JSON，这样的文本格式存储来进行序列化。不管是整数也好，浮点数也好，采用二进制序列化会比存储文本省下不少空间。
ASCII码只表示了128个字符，一开始倒也堪用，毕竟计算机是在美国发明的。然而随着越来越多的不同国家的人都用上了计算机，想要表示譬如中文这样的文字，128个字符显然是不太够用的。于是，计算机工程师们开始各显神通，给自己国家的语言创建了对应的字符集（Charset）和字符编码（Character Encoding）。
字符集，表示的可以是字符的一个集合。比如“中文”就是一个字符集，不过这样描述一个字符集并不准确。想要更精确一点，我们可以说，“第一版《新华字典》里面出现的所有汉字”，这是一个字符集。这样，我们才能明确知道，一个字符在不在这个集合里面。比如，我们日常说的Unicode，其实就是一个字符集，包含了150种语言的14万个不同的字符。
而字符编码则是对于字符集里的这些字符，怎么一一用二进制表示出来的一个字典。我们上面说的Unicode，就可以用UTF-8、UTF-16，乃至UTF-32来进行编码，存储成二进制。所以，有了Unicode，其实我们可以用不止UTF-8一种编码形式，我们也可以自己发明一套 GT-32 编码，比如就叫作Geek Time 32好了。只要别人知道这套编码规则，就可以正常传输、显示这段代码。
同样的文本，采用不同的编码存储下来。如果另外一个程序，用一种不同的编码方式来进行解码和展示，就会出现乱码。这就好像两个军队用密语通信，如果用错了密码本，那看到的消息就会不知所云。在中文世界里，最典型的就是“手持两把锟斤拷，口中疾呼烫烫烫”的典故。
我曾经听说过这么一个笑话，没有经验的同学，在看到程序输出“烫烫烫”的时候，以为是程序让CPU过热发出报警，于是尝试给CPU降频来解决问题。
既然今天要彻底搞清楚编码知识，我们就来弄清楚“锟斤拷”和“烫烫烫”的来龙去脉。
首先，“锟斤拷”的来源是这样的。如果我们想要用Unicode编码记录一些文本，特别是一些遗留的老字符集内的文本，但是这些字符在Unicode中可能并不存在。于是，Unicode会统一把这些字符记录为U+FFFD这个编码。如果用UTF-8的格式存储下来，就是\xef\xbf\xbd。如果连续两个这样的字符放在一起，\xef\xbf\xbd\xef\xbf\xbd，这个时候，如果程序把这个字符，用GB2312的方式进行decode，就会变成“锟斤拷”。这就好比我们用GB2312这本密码本，去解密别人用UTF-8加密的信息，自然没办法读出有用的信息。
而“烫烫烫”，则是因为如果你用了Visual Studio的调试器，默认使用MBCS字符集。“烫”在里面是由0xCCCC来表示的，而0xCC又恰好是未初始化的内存的赋值。于是，在读到没有赋值的内存地址或者变量的时候，电脑就开始大叫“烫烫烫”了。
了解了这些原理，相信你未来在遇到中文的编码问题的时候，可以做到“手中有粮，心中不慌”了。
总结延伸
到这里，相信你发现，我们可以用二进制编码的方式，表示任意的信息。只要建立起字符集和字符编码，并且得到大家的认同，我们就可以在计算机里面表示这样的信息了。所以说，如果你有心，要发明一门自己的克林贡语并不是什么难事。
不过，光是明白怎么把数值和字符在逻辑层面用二进制表示是不够的。我们在计算机组成里面，关心的不只是数值和字符的逻辑表示，更要弄明白，在硬件层面，这些数值和我们一直提的晶体管和电路有什么关系。下一讲，我就会为你揭开神秘的面纱。我会从时钟和D触发器讲起，最终让你明白，计算机里的加法，是如何通过电路来实现的。
推荐阅读
关于二进制和编码，我推荐你读一读《编码：隐匿在计算机软硬件背后的语言》。从电报机到计算机，这本书讲述了很多计算设备的历史故事，当然，也包含了二进制及其背后对应的电路原理。
课后思考
你肯定会计算十进制整数的加减法，二进制的加减法也是一样的。如果二进制的加法中，有数是负数的时候该怎么处理呢？我们今天讲了补码的表示形式，如果这个负数是原码表示的，又应该如何处理？如果是补码表示的呢？请你用二进制加法试着算一算，-5+4=-1，通过原码和补码是如何进行的？
欢迎你在留言区写下你的思考和疑问，和大家一起探讨。你也可以把今天的文章分享给你朋友，和他一起学习和进步。
精选留言
2019-05-20 09:14:48
2019-05-20 15:32:25
2019-11-28 13:22:55
2. 用补码来表示负数，使得我们的整数相加变得很容易，不需要做任何特殊处理，只是把它当成普通的二进制相加，就能得到正确的结果。
3. 我们日常说的 Unicode，其实就是一个字符集，包含了 150 种语言的 14 万个不同的字符。
4. 而字符编码则是对于字符集里的这些字符，怎么一一用二进制表示出来的一个字典。我们上面说的 Unicode，就可以用 UTF-8、UTF-16，乃至 UTF-32 来进行编码，存储成二进制
5.烫的问题其实是编码和解码不一致的问题
2021-02-22 11:38:05
2019-05-20 08:20:51
这里不明白
2019-07-13 23:53:54
课后作业题解答：
使用原码表示-5+4=-1，记住最高位为符号位
$$(-5+4)_原=(-5)_原+(4)_原=(1101)_原+(0100)_原=(1001)_原=-1$$
使用补码表示-5+4=-1，记住最高位为符号位
$$(-5+4)_补=(-5)_补+(4)_补=(1011)_补+(0100)_补=(1111)_补=-1$$
2020-05-25 16:38:53
这三者之间的联系跟转换也没有提，不知道老师出于什么考虑？
上学时这三个码一直弄不清缘由，今天看了文章才知道补码是为了方便加法计算、更好利用比特位，以及唯一表示0，希望老师能抽空再介绍下反码缘由以及它与 补码 源码的关系，多谢！
2019-06-02 19:45:17
2021-06-25 21:58:35
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１１０００
进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
１１１１１０００
二进制补码的两个转换步骤就是这么来的。
2019-05-20 21:05:34
2019-05-21 10:06:01
2019-05-20 09:45:20
这里的意思是说在文本中输入不在Unicode字符集的字符， 那这字符会长什么样子呢？？老师，能不能举个例子呢。
2019-06-17 11:13:57
转换方法：数字9的ASCII是0039，十六进制的0039转换成二进制就是0011 1001。
2020-02-19 13:55:27
2019-12-29 19:19:23
2019-10-20 21:55:23
对字符集而言, 在开发中从来没见过字符集的相关设定, 如何知道自己使用的字符集是什么，又如何保证开发环境和生产环境使用的字符集是一致的？
2019-05-29 22:49:54
2019-05-20 20:45:41
2019-05-20 09:10:49
2022-07-29 10:42:20