我们在第31节提到，深度优先搜索算法利用的是回溯算法思想。这个算法思想非常简单，但是应用却非常广泛。它除了用来指导像深度优先搜索这种经典的算法设计之外，还可以用在很多实际的软件开发场景中，比如正则表达式匹配、编译原理中的语法分析等。
除此之外，很多经典的数学问题都可以用回溯算法解决，比如数独、八皇后、0-1背包、图的着色、旅行商问题、全排列等等。既然应用如此广泛，我们今天就来学习一下这个算法思想，看看它是如何指导我们解决问题的。
如何理解“回溯算法”？
在我们的一生中，会遇到很多重要的岔路口。在岔路口上，每个选择都会影响我们今后的人生。有的人在每个岔路口都能做出最正确的选择，最后生活、事业都达到了一个很高的高度；而有的人一路选错，最后碌碌无为。如果人生可以量化，那如何才能在岔路口做出最正确的选择，让自己的人生“最优”呢？
我们可以借助前面学过的贪心算法，在每次面对岔路口的时候，都做出看起来最优的选择，期望这一组选择可以使得我们的人生达到“最优”。但是，我们前面也讲过，贪心算法并不一定能得到最优解。那有没有什么办法能得到最优解呢？
2004年上映了一部非常著名的电影《蝴蝶效应》，讲的就是主人公为了达到自己的目标，一直通过回溯的方法，回到童年，在关键的岔路口，重新做选择。当然，这只是科幻电影，我们的人生是无法倒退的，但是这其中蕴含的思想其实就是回溯算法。
笼统地讲，回溯算法很多时候都应用在“搜索”这类问题上。不过这里说的搜索，并不是狭义的指我们前面讲过的图的搜索算法，而是在一组可能的解中，搜索满足期望的解。
回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段，我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。
理论的东西还是过于抽象，老规矩，我还是举例说明一下。我举一个经典的回溯例子，我想你可能已经猜到了，那就是八皇后问题。
我们有一个8x8的棋盘，希望往里放8个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。你可以看我画的图，第一幅图是满足条件的一种方法，第二幅图是不满足条件的。八皇后问题就是期望找到所有满足这种要求的放棋子方式。
我们把这个问题划分成8个阶段，依次将8个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行。在放置的过程中，我们不停地检查当前放法，是否满足要求。如果满足，则跳到下一行继续放置棋子；如果不满足，那就再换一种放法，继续尝试。
回溯算法非常适合用递归代码实现，所以，我把八皇后的算法翻译成代码。我在代码里添加了详细的注释，你可以对比着看下。如果你之前没有接触过八皇后问题，建议你自己用熟悉的编程语言实现一遍，这对你理解回溯思想非常有帮助。
int[] result = new int[8];//全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列
public void cal8queens(int row) { // 调用方式：cal8queens(0);
if (row == 8) { // 8个棋子都放置好了，打印结果
printQueens(result);
return; // 8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return
}
for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有8中放法
if (isOk(row, column)) { // 有些放法不满足要求
result[row] = column; // 第row行的棋子放到了column列
cal8queens(row+1); // 考察下一行
}
}
}
private boolean isOk(int row, int column) {//判断row行column列放置是否合适
int leftup = column - 1, rightup = column + 1;
for (int i = row-1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考察每一行
if (result[i] == column) return false; // 第i行的column列有棋子吗？
if (leftup >= 0) { // 考察左上对角线：第i行leftup列有棋子吗？
if (result[i] == leftup) return false;
}
if (rightup < 8) { // 考察右上对角线：第i行rightup列有棋子吗？
if (result[i] == rightup) return false;
}
--leftup; ++rightup;
}
return true;
}
private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个二维矩阵
for (int row = 0; row < 8; ++row) {
for (int column = 0; column < 8; ++column) {
if (result[row] == column) System.out.print("Q ");
else System.out.print("* ");
}
System.out.println();
}
System.out.println();
}
两个回溯算法的经典应用
回溯算法的理论知识很容易弄懂。不过，对于新手来说，比较难的是用递归来实现。所以，我们再通过两个例子，来练习一下回溯算法的应用和实现。
1.0-1背包
0-1背包是非常经典的算法问题，很多场景都可以抽象成这个问题模型。这个问题的经典解法是动态规划，不过还有一种简单但没有那么高效的解法，那就是今天讲的回溯算法。动态规划的解法我下一节再讲，我们先来看下，如何用回溯法解决这个问题。
0-1背包问题有很多变体，我这里介绍一种比较基础的。我们有一个背包，背包总的承载重量是Wkg。现在我们有n个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？
实际上，背包问题我们在贪心算法那一节，已经讲过一个了，不过那里讲的物品是可以分割的，我可以装某个物品的一部分到背包里面。今天讲的这个背包问题，物品是不可分割的，要么装要么不装，所以叫0-1背包问题。显然，这个问题已经无法通过贪心算法来解决了。我们现在来看看，用回溯算法如何来解决。
对于每个物品来说，都有两种选择，装进背包或者不装进背包。对于n个物品来说，总的装法就有2^n种，去掉总重量超过Wkg的，从剩下的装法中选择总重量最接近Wkg的。不过，我们如何才能不重复地穷举出这2^n种装法呢？
这里就可以用回溯的方法。我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了n个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。描述起来很费劲，我们直接看代码，反而会更加清晰一些。
这里还稍微用到了一点搜索剪枝的技巧，就是当发现已经选择的物品的重量超过Wkg之后，我们就停止继续探测剩下的物品。你可以看我写的具体的代码。
public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值
// cw表示当前已经装进去的物品的重量和；i表示考察到哪个物品了；
// w背包重量；items表示每个物品的重量；n表示物品个数
// 假设背包可承受重量100，物品个数10，物品重量存储在数组a中，那可以这样调用函数：
// f(0, 0, a, 10, 100)
public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) {
if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了;i==n表示已经考察完所有的物品
if (cw > maxW) maxW = cw;
return;
}
f(i+1, cw, items, n, w);
if (cw + items[i] <= w) {// 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了
f(i+1,cw + items[i], items, n, w);
}
}
2.正则表达式
看懂了0-1背包问题，我们再来看另外一个例子，正则表达式匹配。
对于一个开发工程师来说，正则表达式你应该不陌生吧？在平时的开发中，或多或少都应该用过。实际上，正则表达式里最重要的一种算法思想就是回溯。
正则表达式中，最重要的就是通配符，通配符结合在一起，可以表达非常丰富的语义。为了方便讲解，我假设正则表达式中只包含“*”和“?”这两种通配符，并且对这两个通配符的语义稍微做些改变，其中，“*”匹配任意多个（大于等于0个）任意字符，“?”匹配零个或者一个任意字符。基于以上背景假设，我们看下，如何用回溯算法，判断一个给定的文本，能否跟给定的正则表达式匹配？
我们依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，我们就直接跟文本的字符进行匹配，如果相同，则继续往下处理；如果不同，则回溯。
如果遇到特殊字符的时候，我们就有多种处理方式了，也就是所谓的岔路口，比如“*”有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，我们就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去了，我们就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后再继续匹配剩下的字符。
有了前面的基础，是不是这个问题就好懂多了呢？我把这个过程翻译成了代码，你可以结合着一块看下，应该有助于你理解。
public class Pattern {
private boolean matched = false;
private char[] pattern; // 正则表达式
private int plen; // 正则表达式长度
public Pattern(char[] pattern, int plen) {
this.pattern = pattern;
this.plen = plen;
}
public boolean match(char[] text, int tlen) { // 文本串及长度
matched = false;
rmatch(0, 0, text, tlen);
return matched;
}
private void rmatch(int ti, int pj, char[] text, int tlen) {
if (matched) return; // 如果已经匹配了，就不要继续递归了
if (pj == plen) { // 正则表达式到结尾了
if (ti == tlen) matched = true; // 文本串也到结尾了
return;
}
if (pattern[pj] == '*') { // *匹配任意个字符
for (int k = 0; k <= tlen-ti; ++k) {
rmatch(ti+k, pj+1, text, tlen);
}
} else if (pattern[pj] == '?') { // ?匹配0个或者1个字符
rmatch(ti, pj+1, text, tlen);
rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
} else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) { // 纯字符匹配才行
rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
}
}
}
内容小结
回溯算法的思想非常简单，大部分情况下，都是用来解决广义的搜索问题，也就是，从一组可能的解中，选择出一个满足要求的解。回溯算法非常适合用递归来实现，在实现的过程中，剪枝操作是提高回溯效率的一种技巧。利用剪枝，我们并不需要穷举搜索所有的情况，从而提高搜索效率。
尽管回溯算法的原理非常简单，但是却可以解决很多问题，比如我们开头提到的深度优先搜索、八皇后、0-1背包问题、图的着色、旅行商问题、数独、全排列、正则表达式匹配等等。如果感兴趣的话，你可以自己搜索研究一下，最好还能用代码实现一下。如果这几个问题都能实现的话，你基本就掌握了回溯算法。
课后思考
现在我们对今天讲到的0-1背包问题稍加改造，如果每个物品不仅重量不同，价值也不同。如何在不超过背包重量的情况下，让背包中的总价值最大？
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精选留言
2018-12-24 09:08:56
2018-12-24 11:42:43
第 11 行的递归调用表示不选择当前物品，直接考虑下一个（第 i+1 个），故 cw 不更新
第 13 行的递归调用表示选择了当前物品，故考虑下一个时，cw 通过入参更新为 cw + items[i]
函数入口处的 if 分支表明递归结束条件，并保证 maxW 跟踪所有选择中的最大值
2019-05-30 15:11:49
假设三个物品，每个物品在考虑时有两种选择，1-放进包，0-不放
11行代码表示不放进包里。13行代码表示放进包里。
三个物品遍历过程如下：
0 0 0 update maxW
0 0 1 update maxW
0 1 0 update maxW
0 1 1 update maxW
1 0 0 update maxW
1 0 1 update maxW
1 1 0 update maxW
1 1 1 update maxW
2019-03-03 15:38:51
我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。
public int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 存储背包中物品总重量的最大值
// cw 表示当前已经装进去的物品的重量和；i 表示考察到哪个物品了；
// w 背包重量；items 表示每个物品的重量；n 表示物品个数
// 假设背包可承受重量 100，物品个数 10，物品重量存储在数组 a 中，那可以这样调用函数：
// f(0, 0, a, 10, 100)
public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) {
if (cw == w || i == n) { // cw==w 表示装满了 ;i==n 表示已经考察完所有的物品
if (cw > maxW) maxW = cw;
return;
}
f(i+1, cw, items, n, w); //当前物品不装进背包
if (cw + items[i] <= w) {// 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了
f(i+1,cw + items[i], items, n, w); //当前物品装进背包
}
}
2018-12-24 12:37:04
2019-08-27 16:55:28
借助着VSCode显示出来的递归栈终于明白了“回溯”是怎么执行的。
简单来说，当前几个循环皇后按照要求站好位之后，已经产生了对应数量的递归栈，此时一致是递归中的递，当走到当前循环时检查发现 一行中8个位置检查isOK都是false时，栈顶的cal8queens这个函数就结束了，这个时候就该递归中的归了，所以就回到上一行，为该行的皇后换另外一个符合条件的位置，这就是所谓的枚举搜索啊。
我太高兴了，哈哈。
2019-01-06 12:57:09
我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。
2019-02-01 00:36:05
if (Math.abs(row - i) == Math.abs(column - result[i])) {
return false;
}
2018-12-24 19:45:10
2019-08-03 20:45:45
经过一番调试思考后，发现我的担心多余了。每次穷举下一种结果时，都会在上一种结果的基础上进行穷举，所以result中<row之前的结果都是有用的，不是脏数据, 也不应该清掉它。
而isOK()每次都寻找正上，左上，右上的占用结果进行判断，因此result中>=row的结果也不会影响到isOK()的判断，很快就可能被后续的穷举重新设置，遂而形成新的穷举结果。
有这些疑问只能说明我对递归回溯理解得还不到位，只能通过一步步调试来寻找答案
2018-12-25 20:00:25
2018-12-27 16:51:38
2019-02-23 18:00:31
第一个不放，第二个不放，……，第n-1个不放，第n个不放。
第一个不放，第二个不放，……，第n-1个不放，
第n个放。
第一个不放，第二个不放， ……，第n-1个放，
第n个不放。
第一个不放，第二个不放， ……，第n-1个放，
第n个放。
……
以此类推
感觉这些问题就是将概率论知识转化成代码实现。
2018-12-25 08:31:50
2018-12-27 11:38:39
2019-09-10 02:29:04
之所以会回溯，是因为在一个结点，有多个选择，每个选择就是一叉，那多个选择就是多叉。选择一叉后，下一个结点又有多叉。这就是一个多叉树嘛。
return，就是叶子结点。
当return的时候，叶子结点访问完了，就要出栈了。依据“后序排序”的规则，开始回到上一个结点的下一叉进行入栈，然后又return了，又出栈了。
最后，把所有可能性全部遍历了一遍，game over了。
2019-11-29 12:30:18
2019-03-24 16:33:23
if (i == n){
if (cw > maxW) maxW = cw;
return;
}
f(i+1, cw, items, n, w);
f(i+1, cw+items[i], items, n, w);
判断是为了去除超重情况，然后加上判断再理解一下。
2018-12-28 09:55:42
2019-08-21 15:40:21
000：第一次哪个物品都不选择放进背包
001：回溯到最后一个物品选择上，这次选择将它装进背包
01x：回溯到倒数第二个物品选择上，这次选择将它装进背包，然后处理它之后的物品：
010
011
1xx：回溯到倒数第三个物品选择上，这次选择将它装进背包，然后处理它之后的物品：
100
101
110
111