从今天开始，我们来学习字符串匹配算法。字符串匹配这样一个功能，我想对于任何一个开发工程师来说，应该都不会陌生。我们用的最多的就是编程语言提供的字符串查找函数，比如Java中的indexOf()，Python中的find()函数等，它们底层就是依赖接下来要讲的字符串匹配算法。
字符串匹配算法很多，我会分四节来讲解。今天我会讲两种比较简单的、好理解的，它们分别是：BF算法和RK算法。下一节，我会讲两种比较难理解、但更加高效的，它们是：BM算法和KMP算法。
这两节讲的都是单模式串匹配的算法，也就是一个串跟一个串进行匹配。第三节、第四节，我会讲两种多模式串匹配算法，也就是在一个串中同时查找多个串，它们分别是Trie树和AC自动机。
今天讲的两个算法中，RK算法是BF算法的改进，它巧妙借助了我们前面讲过的哈希算法，让匹配的效率有了很大的提升。那RK算法是如何借助哈希算法来实现高效字符串匹配的呢？你可以带着这个问题，来学习今天的内容。
BF算法
BF算法中的BF是Brute Force的缩写，中文叫作暴力匹配算法，也叫朴素匹配算法。从名字可以看出，这种算法的字符串匹配方式很“暴力”，当然也就会比较简单、好懂，但相应的性能也不高。
在开始讲解这个算法之前，我先定义两个概念，方便我后面讲解。它们分别是主串和模式串。这俩概念很好理解，我举个例子你就懂了。
比方说，我们在字符串A中查找字符串B，那字符串A就是主串，字符串B就是模式串。我们把主串的长度记作n，模式串的长度记作m。因为我们是在主串中查找模式串，所以n>m。
作为最简单、最暴力的字符串匹配算法，BF算法的思想可以用一句话来概括，那就是，我们在主串中，检查起始位置分别是0、1、2....n-m且长度为m的n-m+1个子串，看有没有跟模式串匹配的。我举一个例子给你看看，你应该可以理解得更清楚。
从上面的算法思想和例子，我们可以看出，在极端情况下，比如主串是“aaaaa....aaaaaa”（省略号表示有很多重复的字符a），模式串是“aaaaab”。我们每次都比对m个字符，要比对n-m+1次，所以，这种算法的最坏情况时间复杂度是O(n*m)。
尽管理论上，BF算法的时间复杂度很高，是O(n*m)，但在实际的开发中，它却是一个比较常用的字符串匹配算法。为什么这么说呢？原因有两点。
第一，实际的软件开发中，大部分情况下，模式串和主串的长度都不会太长。而且每次模式串与主串中的子串匹配的时候，当中途遇到不能匹配的字符的时候，就可以就停止了，不需要把m个字符都比对一下。所以，尽管理论上的最坏情况时间复杂度是O(n*m)，但是，统计意义上，大部分情况下，算法执行效率要比这个高很多。
第二，朴素字符串匹配算法思想简单，代码实现也非常简单。简单意味着不容易出错，如果有bug也容易暴露和修复。在工程中，在满足性能要求的前提下，简单是首选。这也是我们常说的KISS（Keep it Simple and Stupid）设计原则。
所以，在实际的软件开发中，绝大部分情况下，朴素的字符串匹配算法就够用了。
RK算法
RK算法的全称叫Rabin-Karp算法，是由它的两位发明者Rabin和Karp的名字来命名的。这个算法理解起来也不是很难。我个人觉得，它其实就是刚刚讲的BF算法的升级版。
我在讲BF算法的时候讲过，如果模式串长度为m，主串长度为n，那在主串中，就会有n-m+1个长度为m的子串，我们只需要暴力地对比这n-m+1个子串与模式串，就可以找出主串与模式串匹配的子串。
但是，每次检查主串与子串是否匹配，需要依次比对每个字符，所以BF算法的时间复杂度就比较高，是O(n*m)。我们对朴素的字符串匹配算法稍加改造，引入哈希算法，时间复杂度立刻就会降低。
RK算法的思路是这样的：我们通过哈希算法对主串中的n-m+1个子串分别求哈希值，然后逐个与模式串的哈希值比较大小。如果某个子串的哈希值与模式串相等，那就说明对应的子串和模式串匹配了（这里先不考虑哈希冲突的问题，后面我们会讲到）。因为哈希值是一个数字，数字之间比较是否相等是非常快速的，所以模式串和子串比较的效率就提高了。
不过，通过哈希算法计算子串的哈希值的时候，我们需要遍历子串中的每个字符。尽管模式串与子串比较的效率提高了，但是，算法整体的效率并没有提高。有没有方法可以提高哈希算法计算子串哈希值的效率呢？
这就需要哈希算法设计的非常有技巧了。我们假设要匹配的字符串的字符集中只包含K个字符，我们可以用一个K进制数来表示一个子串，这个K进制数转化成十进制数，作为子串的哈希值。表述起来有点抽象，我举了一个例子，看完你应该就能懂了。
比如要处理的字符串只包含a～z这26个小写字母，那我们就用二十六进制来表示一个字符串。我们把a～z这26个字符映射到0～25这26个数字，a就表示0，b就表示1，以此类推，z表示25。
在十进制的表示法中，一个数字的值是通过下面的方式计算出来的。对应到二十六进制，一个包含a到z这26个字符的字符串，计算哈希的时候，我们只需要把进位从10改成26就可以。
这个哈希算法你应该看懂了吧？现在，为了方便解释，在下面的讲解中，我假设字符串中只包含a～z这26个小写字符，我们用二十六进制来表示一个字符串，对应的哈希值就是二十六进制数转化成十进制的结果。
这种哈希算法有一个特点，在主串中，相邻两个子串的哈希值的计算公式有一定关系。我这有个例子，你先找一下规律，再来看我后面的讲解。
从这里例子中，我们很容易就能得出这样的规律：相邻两个子串s[i-1]和s[i]（i表示子串在主串中的起始位置，子串的长度都为m），对应的哈希值计算公式有交集，也就是说，我们可以使用s[i-1]的哈希值很快的计算出s[i]的哈希值。如果用公式表示的话，就是下面这个样子：
不过，这里有一个小细节需要注意，那就是26^(m-1)这部分的计算，我们可以通过查表的方法来提高效率。我们事先计算好26^0、26^1、26^2……26^(m-1)，并且存储在一个长度为m的数组中，公式中的“次方”就对应数组的下标。当我们需要计算26的x次方的时候，就可以从数组的下标为x的位置取值，直接使用，省去了计算的时间。
我们开头的时候提过，RK算法的效率要比BF算法高，现在，我们就来分析一下，RK算法的时间复杂度到底是多少呢？
整个RK算法包含两部分，计算子串哈希值和模式串哈希值与子串哈希值之间的比较。第一部分，我们前面也分析了，可以通过设计特殊的哈希算法，只需要扫描一遍主串就能计算出所有子串的哈希值了，所以这部分的时间复杂度是O(n)。
模式串哈希值与每个子串哈希值之间的比较的时间复杂度是O(1)，总共需要比较n-m+1个子串的哈希值，所以，这部分的时间复杂度也是O(n)。所以，RK算法整体的时间复杂度就是O(n)。
这里还有一个问题就是，模式串很长，相应的主串中的子串也会很长，通过上面的哈希算法计算得到的哈希值就可能很大，如果超过了计算机中整型数据可以表示的范围，那该如何解决呢？
刚刚我们设计的哈希算法是没有散列冲突的，也就是说，一个字符串与一个二十六进制数一一对应，不同的字符串的哈希值肯定不一样。因为我们是基于进制来表示一个字符串的，你可以类比成十进制、十六进制来思考一下。实际上，我们为了能将哈希值落在整型数据范围内，可以牺牲一下，允许哈希冲突。这个时候哈希算法该如何设计呢？
哈希算法的设计方法有很多，我举一个例子说明一下。假设字符串中只包含a～z这26个英文字母，那我们每个字母对应一个数字，比如a对应1，b对应2，以此类推，z对应26。我们可以把字符串中每个字母对应的数字相加，最后得到的和作为哈希值。这种哈希算法产生的哈希值的数据范围就相对要小很多了。
不过，你也应该发现，这种哈希算法的哈希冲突概率也是挺高的。当然，我只是举了一个最简单的设计方法，还有很多更加优化的方法，比如将每一个字母从小到大对应一个素数，而不是1，2，3……这样的自然数，这样冲突的概率就会降低一些。
那现在新的问题来了。之前我们只需要比较一下模式串和子串的哈希值，如果两个值相等，那这个子串就一定可以匹配模式串。但是，当存在哈希冲突的时候，有可能存在这样的情况，子串和模式串的哈希值虽然是相同的，但是两者本身并不匹配。
实际上，解决方法很简单。当我们发现一个子串的哈希值跟模式串的哈希值相等的时候，我们只需要再对比一下子串和模式串本身就好了。当然，如果子串的哈希值与模式串的哈希值不相等，那对应的子串和模式串肯定也是不匹配的，就不需要比对子串和模式串本身了。
所以，哈希算法的冲突概率要相对控制得低一些，如果存在大量冲突，就会导致RK算法的时间复杂度退化，效率下降。极端情况下，如果存在大量的冲突，每次都要再对比子串和模式串本身，那时间复杂度就会退化成O(n*m)。但也不要太悲观，一般情况下，冲突不会很多，RK算法的效率还是比BF算法高的。
解答开篇&内容小结
今天我们讲了两种字符串匹配算法，BF算法和RK算法。
BF算法是最简单、粗暴的字符串匹配算法，它的实现思路是，拿模式串与主串中是所有子串匹配，看是否有能匹配的子串。所以，时间复杂度也比较高，是O(n*m)，n、m表示主串和模式串的长度。不过，在实际的软件开发中，因为这种算法实现简单，对于处理小规模的字符串匹配很好用。
RK算法是借助哈希算法对BF算法进行改造，即对每个子串分别求哈希值，然后拿子串的哈希值与模式串的哈希值比较，减少了比较的时间。所以，理想情况下，RK算法的时间复杂度是O(n)，跟BF算法相比，效率提高了很多。不过这样的效率取决于哈希算法的设计方法，如果存在冲突的情况下，时间复杂度可能会退化。极端情况下，哈希算法大量冲突，时间复杂度就退化为O(n*m)。
课后思考
我们今天讲的都是一维字符串的匹配方法，实际上，这两种算法都可以类比到二维空间。假设有下面这样一个二维字符串矩阵（图中的主串），借助今天讲的处理思路，如何在其中查找另一个二维字符串矩阵（图中的模式串）呢？
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精选留言
2018-12-05 13:35:55
2018-12-06 22:17:32
2018-12-05 22:36:56
以模式串矩阵的大小，去匹配主串矩阵，每个小矩阵可以构建成字符串，就能用 RK 算法做字符串匹配了。
如果主串的大小是 M * N，模式串大小为 m * n，则时间复杂度为 (M - m + 1) * (N - n + 1)。
2018-12-05 16:34:56
今天大佬将之抽象提炼出来，还专门提到冲突解决方法，不可谓不妙！
2018-12-05 08:51:56
假设二维主串和模式串的维度分别是 m*n 和 i*j，横向在[0, m-i]，纵向在[0, n-j]取起始点，然后取同样的子串窗口对比，共有(m-i+1)*(n-j+1)个子串。
ps：
文中计算子串哈希值h[i]的公式中，第二个h[i-1]和后面的h[i+m-1]，应该是主串中的第i-1个和第i+m-1个字符的哈希值…
2019-01-27 15:25:29
复杂度分析，假设二维主串矩阵和模式串矩阵的维度分别是 m*n 和 i*j，按一个个矩阵来看子串的话，共有(m-i+1) * (n-j+1)个子串矩阵。
用RK算法的话，复杂度就是O((m-i+1) * (n-j+1))。
2018-12-07 09:03:46
2019-03-01 09:02:54
改进一：先计算模式串的hash值，记录下来，然后计算每一个子串的hash，计算一次，就对比一次，如果hash值匹配，在全量对比字符串。这样做可以不用关心hash冲突问题。
改进二：计算子串hash值的时候只要计算到n-（n-m）处即可，剩下的子串长度小于模式串，不用计算。
2018-12-06 23:16:24
2019-01-09 18:03:04
2018-12-05 17:31:43
2018-12-05 10:33:50
其中, h[i]、h[i-1] 分别对应 s[i] 和 s[i-1] 两个子串的哈希值
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文中这个公式，26*(h[i-1]-26^(m-1)*h[i-1])可以化简为26*h[i-1]*(1-26^(m-1))，所以这里是不是应该改为26*(h[i-1]-26^(m-1)*s[i-1])，用s[i-1]代表当前位置的字符串的值，例如图中d的值是3，同样的公式后面加 h[i+m-1]是不是也是s[i+m-1]呢
2018-12-12 20:43:59
2018-12-05 09:02:54
可以先查找第一行的字符串，假设长度为m，用bf或者rk都可以，假设是n*n的数组，
bf的复杂度是(n-m)*n
rk的复杂度为n
如果有匹配，则依次匹配第2到m行字符串。每次的复杂度与第一次的相同
最坏时间复杂度为
bf:(m-n)^2*n^2
rk:n^2
但是如果第一行不匹配的话是不会进行第二行的匹配的，平均复杂度会小很多。
2020-02-18 14:11:25
2018-12-05 10:07:08
2018-12-18 15:57:00
2020-01-07 21:20:25
单模式匹配：BF算法和RK算法，RK算法是BF算法的改进，它巧妙借助了哈希算法，提升了匹配的效率。
一：BF算法
1，BF算法是Brute Force的缩写，中文译作暴力匹配算法，也叫朴素匹配算法。
2，两个概念：主串和模式串
如在字符串A中查找字符串B，则字符串A就是主串，字符串B就是模式串
将主串长度记为n，模式串的长度记作m。因为是在主串中查找模式串，所以n>m
3，BF算法的思想可概括为：我们在主串中，检查起始位置分别是0,1,2……n-m且长度为m的n-m+1个子串，看有没有更模式串匹配的。
4，极端情况下，如主串是“aaaaa…aaaaa”，模式串是“aaaab”。每次都比对m个字符，要比对n-m+1次，所以最坏的时间复杂度是O(m*n)。
5，虽然BF算法时间复杂度很高，但在实际开发中使用的非常常见。
原因1：实际软件开发中，大部分情况下，模式串和主串的长度都不会太长。每次模式串与主串中的子串匹配时，当中途不能遇到匹配的字符的时候，就可以停止，不需要全部对比一次。所以理论上最坏情况时间复杂度是O(m*n)，但这更多的是统计意义上的，大部分情况中，这个算法执行的很高效。
原因2：朴素字符串匹配算法思想简单，代码实现也非常简单，简单就意味着不容易出错。工程中，在满足性能要求的前提下，简单是首选，也是常说的KISS（keep it Simple and Stupid）设计原则。
二：RK算法：
1，RK算法的全称是Rabin-Karp算法，是两位发明人的名字拼接。是BF算法的升级版
2，BF算法的问题在于每次检查主串与子串是否匹配，需要依次对比每个字符，所以BF算法的时间复杂就比较高。但引入哈希算法，时间复杂度立即就会降低。
3，RK算法的思路：
通过哈希算法对主串中的n-m+1个子串分别求哈希值，
然后逐个于模式串的哈希值比较大小，如果相等就说明有对应的模式串。
4，通过哈希算法计算字符的哈希值时，需要遍历子串中的每个字符，这只提供了模式串与子串比较的效率，但整体的效率并没有提高。
5，为了提高哈希算法计算子串哈希值的效率，可以通过哈希算法的设计来解决。
假设要匹配的字符串的字符集中只包含k个字符，这就可以用一个k进制数来表示一个子串，这个k进制数转化成十进制，作为子串的哈希值。
6，
7，这种哈希算法有个特点，在主串中，相邻两个子串的哈希值的计算公式有一定关系。
8，相邻额哈希值计算公式有交集：
9，RK算法的时间复杂度：
①：整个RK算法包含两个部分，计算子串哈希值和模式串哈希值与子串哈希值之间的比较。
②：第一部分，只需要扫描一遍主串就能计算出所有子串的哈希值了，复杂度是O(n)。
③：模式串哈希值与每个子串哈希值之间的比较时间复杂度是O(1)，总共需要比较n-m+1个子串的哈希值，所有，这部分的时间复杂度也是O(n)。
所以RK算法整体时间复杂度就是O(n)。
10，如果模式串很长，相应的主串中子串也会很长，通过上面的哈希算法计算得到的哈希值就可能很大，如果超过了计算机中整形数据可以表示范围，该如何解决？
答：我们可以把字符串中每个字母的数字相加，最后得到的和作为哈希值。这种哈希算法产生的哈希值的数据范围就相对要小很多。
11，若出现哈希冲突如何解决？
答：如果两值相等，比较子串中每个字符。
所以，哈希算法中的冲突概率要相对控制得低一些，如果存在大量冲突，就会导致RK算法的时间复杂度退化，效率下降。极端情况下，如果存在大量的冲突，每次都要对比子串和模式串本身，时间复杂度就会退化成O(n*m)。
2019-07-08 11:54:46
BF算法时间复杂度：o(m * n)
BF算法空间复杂度：o(1)
BF算法在jdk中的实践：String的indexof
BF算法优点：大部分实践情况下模式串和主串都不太长，且经常遇到能剪枝的情况，实际算法执行效率要比o(m * n)要好；符合KISS原则
RK算法时间复杂度：o(n)
RK算法空间复杂度：o(m)
RK算法中获得的启发：
1. 算法调优的核心就是减少无用功
2. 哈希表经常作为用空间换时间的典型数据结构
3. 当前算法的进行要考量是否能复用之前的结果，即考量步骤的前后关联性（可能有点动态规划的意思）
2019-01-09 18:31:15
其中, h[i]、h[i-1] 分别对应 s[i] 和 s[i-1] 两个子串的哈希值
好吧，这一段代码我对照上下文看了10遍，看懂了。我承认我很蠢