上一节我们学习了树、二叉树以及二叉树的遍历，今天我们再来学习一种特殊的二叉树，二叉查找树。二叉查找树最大的特点就是，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。
我们之前说过，散列表也是支持这些操作的，并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效，时间复杂度是O(1)。既然有了这么高效的散列表，使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢？有没有哪些地方是散列表做不了，必须要用二叉树来做的呢？
带着这些问题，我们就来学习今天的内容，二叉查找树！
二叉查找树（Binary Search Tree）
二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。它是怎么做到这些的呢？
这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。 我画了几个二叉查找树的例子，你一看应该就清楚了。
前面我们讲到，二叉查找树支持快速查找、插入、删除操作，现在我们就依次来看下，这三个操作是如何实现的。
1.二叉查找树的查找操作
首先，我们看如何在二叉查找树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。
这里我把查找的代码实现了一下，贴在下面了，结合代码，理解起来会更加容易。
public class BinarySearchTree {
private Node tree;
public Node find(int data) {
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data < p.data) p = p.left;
else if (data > p.data) p = p.right;
else return p;
}
return null;
}
public static class Node {
private int data;
private Node left;
private Node right;
public Node(int data) {
this.data = data;
}
}
}
2.二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。
如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
同样，插入的代码我也实现了一下，贴在下面，你可以看看。
public void insert(int data) {
if (tree == null) {
tree = new Node(data);
return;
}
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data > p.data) {
if (p.right == null) {
p.right = new Node(data);
return;
}
p = p.right;
} else { // data < p.data
if (p.left == null) {
p.left = new Node(data);
return;
}
p = p.left;
}
}
}
3.二叉查找树的删除操作
二叉查找树的查找、插入操作都比较简单易懂，但是它的删除操作就比较复杂了 。针对要删除节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。
第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为null。比如图中的删除节点55。
第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点13。
第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点18。
老规矩，我还是把删除的代码贴在这里。
public void delete(int data) {
Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点
Node pp = null; // pp记录的是p的父节点
while (p != null && p.data != data) {
pp = p;
if (data > p.data) p = p.right;
else p = p.left;
}
if (p == null) return; // 没有找到
// 要删除的节点有两个子节点
if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
Node minP = p.right;
Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
while (minP.left != null) {
minPP = minP;
minP = minP.left;
}
p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
p = minP; // 下面就变成了删除minP了
pp = minPP;
}
// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
Node child; // p的子节点
if (p.left != null) child = p.left;
else if (p.right != null) child = p.right;
else child = null;
if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
else if (pp.left == p) pp.left = child;
else pp.right = child;
}
实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。
4.二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。这些操作我就不一一展示了。我会将相应的代码放到GitHub上，你可以自己先实现一下，然后再去上面看。
二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。
支持重复数据的二叉查找树
前面讲二叉查找树的时候，我们默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际的软件开发中，我们在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。
前面我们讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？我这里有两种解决方法。
第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。
每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。
当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。
二叉查找树的时间复杂度分析
好了，对于二叉查找树常用操作的实现方式，你应该掌握得差不多了。现在，我们来分析一下，二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。
实际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了O(n)。
我刚刚其实分析了一种最糟糕的情况，我们现在来分析一个最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？
从我前面的例子、图，以及还有代码来看，不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是O(height)。既然这样，现在问题就转变成另外一个了，也就是，如何求一棵包含n个节点的完全二叉树的高度？
树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。从图中可以看出，包含n个节点的完全二叉树中，第一层包含1个节点，第二层包含2个节点，第三层包含4个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的2倍，第K层包含的节点个数就是2^(K-1)。
不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在1个到2^(L-1)个之间（我们假设最大层数是L）。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数n。也就是说，如果节点的个数是n，那么n满足这样一个关系：
n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)
借助等比数列的求和公式，我们可以计算出，L的范围是[log2(n+1), log2n +1]。完全二叉树的层数小于等于log2n +1，也就是说，完全二叉树的高度小于等于log2n。
显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，这就是我们下一节课要详细讲的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是O(logn)。
解答开篇
我们在散列表那节中讲过，散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？
我认为有下面几个原因：
第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在O(n)的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在O(logn)。
第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比logn小，所以实际的查找速度可能不一定比O(logn)快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。
第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。
综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。
内容小结
今天我们学习了一种特殊的二叉树，二叉查找树。它支持快速地查找、插入、删除操作。
二叉查找树中，每个节点的值都大于左子树节点的值，小于右子树节点的值。不过，这只是针对没有重复数据的情况。对于存在重复数据的二叉查找树，我介绍了两种构建方法，一种是让每个节点存储多个值相同的数据；另一种是，每个节点中存储一个数据。针对这种情况，我们只需要稍加改造原来的插入、删除、查找操作即可。
在二叉查找树中，查找、插入、删除等很多操作的时间复杂度都跟树的高度成正比。两个极端情况的时间复杂度分别是O(n)和O(logn)，分别对应二叉树退化成链表的情况和完全二叉树。
为了避免时间复杂度的退化，针对二叉查找树，我们又设计了一种更加复杂的树，平衡二叉查找树，时间复杂度可以做到稳定的O(logn)，下一节我们具体来讲。
课后思考
今天我讲了二叉树高度的理论分析方法，给出了粗略的数量级。如何通过编程，求出一棵给定二叉树的确切高度呢？
欢迎留言和我分享，我会第一时间给你反馈。
我已将本节内容相关的详细代码更新到GitHub，戳此即可查看。
精选留言
2018-11-14 00:27:55
2018-11-14 08:55:34
2018-11-15 23:38:02
2018-11-17 00:24:30
递归公式： depth =Math.max(maxDepth(node.left), maxDepth(node.right) )+ 1;
递归出口： depth = 0 (node == null)
2、二叉查找树的删除操作（无重复的数据）leetcode 450。
根据老师的思路，先不看代码，自己写了好长段时间，写出来都跑过leetcode的所有案例。回过头来再看老师的删除的代码，感觉到了巧妙之处就是：当删除节点有两个子节点的情况，很巧得一起套用了删除结点子节点个数小于1的两种场景。
2018-11-14 10:07:50
2018-11-26 21:10:45
2018-11-15 11:27:27
p = minP; // 下面就变成了删除 minP 了
pp = minPP;
总于看明白这段代码了……各位老铁，单纯看这3行代码是看不出是删除后继节点的，是要结合后面的代码来看的……不过说实话这种代码是不好看的懂……
2019-03-13 15:44:38
2018-11-14 23:55:48
pp = minPP;
老师，对这里不太搞懂，似乎也有些人对这里感到困惑，老师可以对这两句集中解释下嘛
2019-01-14 21:27:47
2018-11-14 08:45:43
- 只有一个根结点时，二叉树深度为 1
- 只有左子树时，二叉树深度为左子树深度加 1
- 只有右子树时，二叉树深度为右子树深度加 1
- 同时存在左右子树时，二叉树深度为左右子树中深度最大者加 1
https://mp.weixin.qq.com/s/ONKJyusGCIE2ctwT9uLv9g
2019-05-01 15:11:55
p = minP; // 下面就变成了删除 minP 了
pp = minPP;
后面想到其实代码还没有终结，如果minP是右子树的最左节点，那么这个节点肯定是没有左子树的。
这步操作其实可以理解为把这个节点标记要删除，用后面的删除只有一个子树或没有子树的节点的逻辑去做
2018-11-18 14:13:58
2018-11-18 09:49:26
2018-11-14 10:11:13
2018-12-28 00:08:53
2018-11-15 11:38:33
2019-12-21 16:38:34
2019-07-21 15:59:16
递归方式
var deleteNode = function(root, key) {
if (!root) return null
if (key > root.val) {
root.right = deleteNode(root.right, key)
} else if (key < root.val) {
root.left = deleteNode(root.left, key)
} else {
if (!root.right) return root.left
if (!root.left) return root.right
let n = root.right
while (n.left) n = n.left
n.left = root.left
return root.right
}
return root
}
非递归方式
var deleteNode = function(root, key) {
if (!root) return null
let n = root, p
while (n && n.val !== key) {
p = n
key > n.val ? n = n.right : n = n.left
}
if (!n) return root
let remainNode
if (!n.left) remainNode = n.right
if (!n.right) remainNode = n.left
if (n.left && n.right) {
let min = n.right
while (min.left) min = min.left
min.left = n.left
remainNode = n.right
}
if (!p) return remainNode
p.left === n ? p.left = remainNode : p.right = remainNode
return root
}
2018-11-15 10:45:00
先说老师代码问题所在：
p.data = minP.data; // 将 minP 的数据替换到 p 中
p = minP; // 下面就变成了删除 minP 了
pp = minPP;
这里是有问题的，感觉正确的应该是
findNode.setData(minP.getData());//覆盖原来的值
minPP.setLeftNode(minP.getRightNode());//替代删除节点的父节点的左节点指向替代删除节点的右节点
贴上自己的删除代码：
/**
* 删除查找二叉树的一个节点
* @param root
* @param value
*/
public static void delete(Node root,int value) {
Node findNode = root; //记录当前要删除的节点
Node fatherNode = null; //记录删除节点的父节点
while (findNode != null && findNode.getData() != value) {
fatherNode = findNode;
if (findNode.getData() < value) {
findNode = findNode.getRightNode();
} else if (findNode.getData() > value) {
findNode = findNode.getLeftNode();
}
}
if (findNode != null) {
if (findNode.getLeftNode() != null && findNode.getRightNode() != null) {//要删除节点 左节点和右节点都存在
Node minP = findNode.getRightNode(); //minP是获取右节点下面的最小节点
Node minPP = findNode; //minPP是minP的父节点
while (minP.getLeftNode() != null) {
minPP = minP;
minP = minP.getLeftNode();
}
findNode.setData(minP.getData());//覆盖原来的值
minPP.setLeftNode(minP.getRightNode());//替代删除节点的父节点的左节点指向替代删除节点的右节点
}else{//要删除节点 左节点和右节点有一个存在 或全部都不存在
Node tidai = null;
if (findNode.getLeftNode() == null && findNode.getRightNode() != null) {
tidai = findNode.getRightNode();
}
if (findNode.getLeftNode() != null && findNode.getRightNode() == null) {
tidai = findNode.getLeftNode();
}
if (fatherNode == null) { //父节点为空 即为根节点
root = tidai;
} else if (fatherNode.getRightNode().getData() == value) {
fatherNode.setRightNode(tidai);
} else {
fatherNode.setLeftNode(tidai);
}
}
}
}